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第一章函數(shù)與極限

1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱(chēng)為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。

2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的極限。

定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界。

如果數(shù)列{xn}無(wú)界，那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散；但如果數(shù)列{xn}有界，卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂，例如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列{xn}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列{xn}有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的，如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的；同時(shí)一個(gè)發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中0

定理(極限的局部保號(hào)性)如果lim(x→x0)時(shí)f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

一般的說(shuō)，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線(xiàn)y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線(xiàn)。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線(xiàn)x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線(xiàn)。

4、極限運(yùn)算法則定理有限個(gè)無(wú)窮小之和也是無(wú)窮小；有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小；常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小；有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿(mǎn)足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對(duì)于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。

單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

6、函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。

不連續(xù)情形：1、在點(diǎn)x=x0沒(méi)有定義；2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時(shí)則稱(chēng)函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，則稱(chēng)x0為函數(shù)f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)(左右極限相等者稱(chēng)可去間斷點(diǎn)，不相等者稱(chēng)為跳躍間斷點(diǎn))。非第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)(無(wú)窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn))。

定理有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)(即f(a)×f(b)

推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。