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上海電力大學(xué)2025年碩士研究生入學(xué)初試《常微分方程》課程考試大綱

參考書目：

① 蔡燧林，《常微分方程》(第四版)，杭州：浙江大學(xué)出版社，2018年;

② 丁同仁, 李承治，《常微分方程教程》(第二版)，北京：高等教育出版社，2004年.

一、復(fù)習(xí)總體要求

要求學(xué)生對(duì)常微分方程的基本概念和理論能正確理解，并具有一定的分析求解能力和利用變量數(shù)學(xué)方法解決生產(chǎn)實(shí)際問題的應(yīng)用能力。

二、復(fù)習(xí)內(nèi)容

第一章 初等積分法可求解的各類方程

1.微分方程的基本概念

2.可分離變量的微分方程

3.齊次方程

4.一階線性微分方程

5. 全微分方程

6. 可降階的高階微分方程

了解微分方程、解、通解、初始條件和特解等概念以及將實(shí)際問題建立成常微分方程模型的一般步驟;掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法;掌握齊次線性微分方程的解法;會(huì)求解伯努利(Bernoulli)方程并從中領(lǐng)會(huì)用變量代換求解方程的思想;會(huì)解全微分方程;會(huì)用降階法求解方程：y (n)= f (x)，y''= f (x, y')和 y''= f ( y, y') 。

第二章 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)和求法

1.線性微分方程解的一般理論

2.二階齊次線性常系數(shù)微分方程的特征方程求解法

3.高階線性常系數(shù)微分方程的求法

4. 二階非齊次線性常系數(shù)微分方程特解的待定系數(shù)法

5. 歐拉方程的形式和解法

6. 劉維爾公式

7. 變動(dòng)任意常數(shù)法求解非奇次線性微分方程的解法

了解n階齊次(非齊次)線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu);了解復(fù)值函數(shù)和復(fù)值解;了解用復(fù)數(shù)法求解帶三角函數(shù)的非齊次常系數(shù)線性微分方程;掌握二階齊次線性常系數(shù)微分方程的特征方程求解法;掌握二階非齊次線性常系數(shù)微分方程的特解的待定系數(shù)法;掌握歐拉方程的形式和解法;掌握劉維爾公式;掌握變動(dòng)任意常數(shù)法求解非奇次線性微分方程的解法;掌握高階常系數(shù)線性齊次微分方程的求法。

第三章 線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)和求法

1.常系數(shù)齊線性微分方程組的特征值代數(shù)求法

2.求解常系數(shù)非齊線性微分方程組的常數(shù)變易法

3.求解非齊線性微分方程組的低階情形的代入消去法

了解一階齊(非齊)線性微分方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu);掌握求解常系數(shù)齊線性微分方程組的方法;掌握求解常系數(shù)非齊線性微分方程組的常數(shù)變易法;掌握求解非齊線性微分方程組的低階情形的代入消去法。

第四章 穩(wěn)定性理論及定性理論初步

1.一次線性近似決定微分方程組零解穩(wěn)定性的方法

2. Routh-Hurwitz判據(jù)

3.李雅譜若夫第二方法判別穩(wěn)定性的方法

4.平面初等奇點(diǎn)的分類方法

了解解的穩(wěn)定性、零解穩(wěn)定性及零解漸進(jìn)穩(wěn)定性的概念;了解定號(hào)函數(shù)的概念及判定以及相平面、相軌線與相圖的概念;掌握一次線性近似決定微分方程組零解穩(wěn)定性的方法;掌握Routh-Hurwitz判據(jù);掌握用李雅譜若夫第二方法判別穩(wěn)定性的方法;掌握平面初等奇點(diǎn)的分類方法。