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中國地質大學(北京)2025年碩士研究生入學考試《高等代數(821)》考試大綱與參考書目

考試性質

本門課程考試的內容包括行列式、矩陣、線性方程組、多項式理論、二次型、線性變換和線性空間等。要求考生全面系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，熟練掌握高等代數的基本思想和基本方法，評價標準是使高校優秀本科畢業生能達到及格或及格以上水平。

考試方式和考試時間

1. 答卷方式：閉卷、筆試

2. 答卷時間：180分鐘

試卷結構

滿分150分，題型為填空題、選擇題、計算題、證明題。

考試內容和考試要求

考查要點

1. 多項式

一元多項式環、帶余除法、整除、最大公因式、輾轉相除法，互素的充要條件，不可約多項式、因式分解的唯一性和標準分解式、重因式、多項式函數、根、重根;復(實)系數多項式的因式分解;代數基本定理;有理系數多項式的有理根、艾森斯坦因判別法。

2. 行列式

排列、行列式定義、性質和計算、按行展開和拉普拉斯展開定理、克萊姆法則。

3. 線性方程組

n維向量空間、向量組的線性相關性及其基本性質、極大線性無關組、秩;線性方程組有解的判別定理;線性方程組解的結構、基礎解系、解空間、求解的方法。

4. 矩陣

矩陣的運算及性質;矩陣的秩;矩陣的初等變換與初等矩陣;矩陣在初等變換下的

標準形;矩陣的逆、伴隨陣、線性方程組的矩陣形式;行列式乘積定理;分塊矩陣;

分塊矩陣運算;矩陣的跡、方陣的多項式。

5. 二次型

二次型的矩陣表示;二次型的標準形與合同變換;復數域與實數域上二次型的標準形、規范形;慣性定理;實二次型、實對稱矩陣正定的充分必要條件。

6. 線性空間

線性空間的概念;一些重要的線性空間實例，基、維數與坐標;基變換與坐標變換。

7. 線性變換

線性映射與線性變換的概念、運算;線性變換的矩陣表示;線性變換(矩陣)的特

征多項式、特征值與特征向量;線性變換的值域與核;特征子空間;線性變換的不

變子空間;線性變換的矩陣為對角矩陣的充要條件。

8. λ-矩陣

λ-矩陣在初等變換下的標準形、不變因子、行列式因子;矩陣相似的條件;數字矩陣或線性變換的不變因子、初等因子、Jordan標準形。

9. 歐幾里得空間

向量內積;歐氏空間的概念及性質，度量矩陣;向量的長度、夾角、正交、距離;

標準正交基;歐氏空間的子空間的正交補，歐氏空間的同構;正交變換與正交矩陣

的等價條件，對稱變換的概念與性質;用正交變換化實對稱矩陣為對角陣的方法。

參考書目

《高等代數》(第五版)，北京大學數學系前代數小組編，王萼芳、石生明修訂，高等教育出版社。