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上海電力大學2023年碩士研究生入學初試《數學分析》課程考試大綱

參考書目：

① 華東師范大學數學科學學院編，《數學分析》(第五版)，高等教育出版社，2019年;

② 歐陽光中等編，《數學分析》(第四版)，高等教育出版社，2018年。

一、復習總體要求

要求學生能掌握數學分析的基本概念和基本思想，具有較強的邏輯演繹能力、比較熟練的運算能力和運用所學知識去分析問題和解決問題的綜合能力。

二、復習內容

第一篇 極限的概念和計算

1. 極限的定義和性質

2. 極限的計算

3. 函數的連續性

4. 實數的完備性

掌握數列極限和函數極限的概念、極限的性質、極限的各種計算方法;掌握(一致)連續函數的性質;掌握多元函數的累次極限與重極限;熟悉實數六大定理(確界定理、單調有界收斂定理、閉區間套定理、致密性定理、柯西收斂定理和有限覆蓋定理)及其等價性。

第二篇 一元函數微分學

1. 導數的概念

2. 導數的計算

3. 導數的應用

掌握導數和微分的概念及意義;掌握各類函數的(高階)導數的計算方法;掌握微分中值定理(Rolle定理、Lagrange定理和Cauchy中值定理)及其應用;掌握Taylor公式及(Lagrange余項和Peano余項)其應用;掌握一元微分學在幾何和極值上的應用。

第三篇 一元函數積分學

1. 不定積分概念與計算

2. 定積分概念與計算

3. 反常積分

4. 定積分的幾何和物理應用

掌握不定積分和定積分的概念;了解函數可積的條件;掌握不定積分和定積分計算的基本公式、換元法和分部積分法;會求較簡單的有理函數、無理函數及三角函數有理式的積分;掌握定積分在幾何和物理上的應用方法;掌握反常積分的斂散性判別。

第四篇 多元函數微分學

1. 多元函數的可微性

2. 隱函數定理及其應用

3. 泰勒公式與極值問題

4. 幾何應用

掌握多元函數的連續性、可導性和可微性之間的關系;能熟練計算(高階)偏導數、方向導數、梯度;理解隱函數存在定理，熟練掌握隱函數(組)的微分法;掌握多元函數的Taylor公式;掌握無條件極值和條件極值的求解及應用;會求曲線的切線和法平面方程以及曲面的切平面和法線方程。

第五篇 多元函數積分學

1. 含參量積分

2. 重積分

3. 曲線積分

4. 曲面積分

掌握含參變量(反常)積分的概念、一致收斂性的意義與判別法;掌握二重積分和三重積分的計算方法(特別是多重積分的換元積分法);掌握第一類曲線積分和第二型曲線積分的概念并會進行計算;掌握第一類曲面積分和第二型曲面積分的概念并會進行計算;熟練掌握Green公式、Gauss公式和Stokes公式;掌握多元積分學的簡單的幾何和物理應用。

第六篇 級數

1. 數項級數

2. 函數項級數

3. 冪級數

4. 傅里葉級數

掌握數項級數收斂、發散和絕對收斂的概念;熟練掌握(正項、一般項)數項級數收斂性的判定;掌握函數列和函數項級數一致收斂的概念和判定方法(Cauchy一致收斂準則、Weierstrass判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法);掌握冪級數的收斂域、求和與函數的冪級數展開;掌握傅里葉級數的計算及收斂性。