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2023年碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱

科目代碼：816   科目名稱：實變函數

一. 考試要求

主要考查學生對集與點集的理解與掌握；對Lebesgue測度的理解與掌握；對可測函數的理解與掌握；對Lebesgue積分的理解與掌握；以及運用基本理論和方法，分析解決問題的能力。

二、考試內容

1．集與點集

掌握集合的各種運算定律；理解映射的像、原像的概念及其運算性質；了解集的對等、勢的概念及其性質，會證明可數集的基本問題；掌握一維開集、閉集的性質以及內點、極限點、稠密性等若干概念；熟悉康脫集的構造及性質。

2．Lebesgue測度

理解外測度的概念與性質，了解內測度的定義，掌握可測集的定義；掌握可測集與測度的性質；了解不可測集的存在性。

3．可測函數

理解可測函數的概念，掌握函數可測的證明方法；理解“幾乎處處”的概念；掌握幾乎處處收斂、依測度收斂、近一致收斂的特征、性質以及它們之間的關系；理解Riesz定理與葉果洛夫定理，并掌握其證明方法；理解可測函數的構造，掌握魯津定理。

4．Lebesgue積分

理解Lebesgue積分的定義，掌握Lebesgue積分的基本性質；掌握證明積分基本問題的方法；掌握積分三大極限定理及其基本用法；了解函數常義R可積的充要條件，理解R積分與L積分的關系，并會用來計算一類R積分值與L積分值；理解單調函數、有界變差函數的性質、掌握絕對連續函數的基本性質、特征及應用；掌握Lebesgue積分意義下的微積分基本定理。

三、考試形式

考試形式為閉卷、筆試，考試時間為3小時，滿分150分。

題型包括：填空題（約30分）、證明題（約100分）、計算題（約20分）。

四、參考書目

《實變函數與泛函分析概要》（第一冊）,鄭維行，王聲望 編．北京：高等教育出版社，2019年，第五版。