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2022年研究生初試自命題科目考試大綱-數(shù)學

610《高等代數(shù)》

一、考查目標

“高等代數(shù)”是數(shù)學類專業(yè)的基礎(chǔ)課，它是研究線性系統(tǒng)和線性結(jié)構(gòu)的一門數(shù)學學科，是幾乎所有數(shù)學后續(xù)課程的先修課程, 并且在自然科學的各個分支中有廣泛而深刻的應(yīng)用。該課程考查考生對高等代數(shù)的基本概念、主要理論、重要方法的掌握程度，同時考查考生的數(shù)學抽象思維、邏輯推理及運算求解能力，提高分析問題、解決問題能力。

二、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

1、考試形式

考試形式為閉卷、筆試;考試時間為3小時。

2、試卷結(jié)構(gòu)

填空題、解答題，滿分計150分。

三、考試內(nèi)容

(一)多項式理論： 多項式的整除，最大公因式，多項式的互素，不可約多項式與因式分解，重因式重根的判別，多項式函數(shù)與多項式的根。

重點掌握：重要定理的證明，如多項式的整除性質(zhì)，不可約多項式的性質(zhì), 整系數(shù)多項式的因式分解定理等。運用多項式理論證明有關(guān)問題，如與多項式的互素和不可約多項式的性質(zhì)有關(guān)問題的證明與應(yīng)用以及用多項式函數(shù)方法證明有關(guān)的問題。

(二)行列式： 行列式的定義、性質(zhì)和常用計算方法(如：三角形法、加邊法、降階法、遞推法、按一行一列展開法、Laplace展開法等)。

重點掌握：n階行列式的計算及應(yīng)用。

(三)線性方程組：向量組線性相(無)關(guān)的判別。向量組極大線性無關(guān)組的性質(zhì)、向量組之間秩的大小關(guān)系、矩陣的秩、Cramer法則，線性方程組有(無)解的判別定理、齊次線性方程組有非零解條件(用系數(shù)矩陣的秩進行判別、用行列式判別、用方程個數(shù)判別)、基礎(chǔ)解系的計算及其性質(zhì)、通解的求法，非齊次線性方程組的解法和解的結(jié)構(gòu)。

重點掌握：向量組線性相(無)關(guān)的判別、向量組之間秩與矩陣的秩、齊次線性方程組有非零解條件及基礎(chǔ)解系的性質(zhì)、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)與其計算。

(四)矩陣理論：矩陣的運算，矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系及其應(yīng)用(求解線性方程組、求逆矩陣、求向量組的秩)、矩陣的等價標準形、矩陣可逆的條件(與行列式、矩陣的秩、初等矩陣的關(guān)系)、伴隨矩陣及其性質(zhì)、分塊矩陣、矩陣的常用分解(如：等價分解，滿秩分解，實可逆陣的正交三角分解等)，幾種特殊矩陣的常用性質(zhì)(如：對稱矩陣與反對稱矩陣，伴隨矩陣、冪等矩陣，冪零矩陣，正交矩陣等)。

重點掌握：矩陣的逆與伴隨矩陣的性質(zhì)與求法，應(yīng)用矩陣理論解決一些相關(guān)問題。

(五)二次型理論：化二次型為標準形和規(guī)范形，實二次型在合同變換之下的規(guī)范型以及在正交變換之下的標準型的求法、慣性定律的應(yīng)用，正定、半正定矩陣的判別及應(yīng)用、正定矩陣的一些重要結(jié)論及其應(yīng)用。

重點掌握：正定和半正定矩陣有關(guān)的證明，實二次型在合同變換之下的規(guī)范型以及在正交變換之下的標準型的計算。

(六)線性空間：線性空間、子空間的定義及性質(zhì)、求線性空間中向量組的秩、求線性(子)空間的基與維數(shù)的方法、基擴充定理，維數(shù)公式，基變換與坐標變換，生成子空間，子空間直和，一些常見的子空間(線性方程組解的解空間、矩陣空間、多項式空間、函數(shù)空間、線性變換的特征子空間和不變子空間)。

重點掌握：向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的綜合證明，求線性(子)空間的基與維數(shù)的方法，維數(shù)公式的證明及應(yīng)用，特別是子空間直和的有關(guān)證明。

(七)線性變換：線性變換的定義與運算，線性變換與n階矩陣的對應(yīng)定理，矩陣的特征多項式(包括最小多項式)及其有關(guān)性質(zhì)，求線性變換的矩陣和特征值以及特征向量的方法，線性無關(guān)特征向量的判別及最大個數(shù)，實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)，特征子空間，不變子空間，核與值域的定理. 線性變換(包括矩陣)可對角化的條件，Hamilton-Caylay定理。

重點掌握：線性變換(包括矩陣)的對角化，求線性變換的矩陣和特征值以及特征向量的方法，線性變換(矩陣)的特征值以及特征向量的性質(zhì)，線性變換的核與值域。

(八)λ-矩陣：λ-矩陣的初等變換，λ-矩陣的標準型，行列式因子，不變因子，初等因子，三種因子之間的關(guān)系，Jordan標準型理論。

重點掌握：求矩陣的三種因子、Jordan標準型。

(九)歐氏空間: 內(nèi)積和歐氏空間的定義及簡單性質(zhì)(柯西-施瓦茲不等式，三角不等式，勾股定理等)。度量矩陣與標準正交基的求法以及性質(zhì)的證明和應(yīng)用，正交變換(正交矩陣)的等價條件，對稱變換，求正交矩陣T，使實對稱矩陣A正交相似于對角矩陣。

重點掌握：歐氏空間的概念，標準正交基，Schmidt正交化方法，正交變換和對稱變換。

四、推薦書目：

1、《高等代數(shù)》(第五版)北京大學編，高等教育出版社，2019年;

2、《高等代數(shù)》(第二版)黃廷祝等編，高等教育出版社，2016年。