2014考研數學：線性代數暑假復習重點解析

考研數學來源：中國考研網 2013-07-22　

考研數學主要考查三科：高等數學、線性代數、概率論與數理統計，三門課程所占的分值比例也不一樣，總體來說高等數學占考研數學的大部分比例，而線性代數不管數幾所占的分值比例均是22%。雖然線代只占22%的分值，但是它的復習確有一定的難度，這是因為線性代數這門學科不僅知識點多、概念多、定理多、符號多、運算規律多，而且各章節的內容也是相互縱橫交錯的，知識點之間的聯系非常緊密。因此，廣大考生在暑期復習線性代數的時候應該將重點放在對基本概念的理解上，做到掌握基本定理的條件、結論及其應用、各種運算規律及基本題型的計算方法等。多注重知識點之間的銜接與轉換，注重理解，多思考多總結，使知識成網狀，努力提高自己綜合分析問題的能力。

為了讓考生在暑期復習中能將線性代數提高到一個新的層次，在此教育數學教研室邵春營老師為給各位研友分析一下歷年考研重點及其復習思路，以使大家做到有的放矢決勝千里！考研線性代數總共涉及到六章的內容，接下來我們針對各章節進行考點的總結，并給出暑期復習重難點。

第一章行列式

本章的重點是行列式的計算，主要有兩種類型的題目：數值型行列式的計算和抽象型行列式的計算。數值型行列式的計算不會以單獨題目的形式考查，但是在解決線性方程組求解問題以及特征值與特征向量的問題時均涉及到數值型行列式的計算；而抽象型行列式的計算問題會以填空題的形式展現，在歷年考研真題中可以找到有關抽象型行列式的計算問題。因此，廣大考生在暑假復習期間行列式這塊要做到利用行列式的性質及展開定理熟練的、準確的計算出數值型行列式的值，不論是高階的還是低階的都要會計算；另外還要會綜合后面的知識會計算簡單的抽象行列式的值。

第二章矩陣

本章需要重點掌握的基本概念有可逆矩陣、伴隨矩陣、分塊矩陣和初等矩陣，可逆陣與伴隨矩陣的相關性質也很重要，也是需要考生掌握的。除了這些就是矩陣的基本運算，可以將矩陣的運算分為兩個層次：

1、矩陣的符號運算

2、具體矩陣的數值運算

矩陣的符號運算就是利用相關矩陣的性質對給出的矩陣等式進行化簡，而具體矩陣的數值運算主要指矩陣的乘法運算、求逆運算等。

第三章向量

本章的重點有：

1、向量組的線性相關性證明、線性表出等問題，解決此類問題的關鍵在于深刻理解向量組的線性相關性概念，掌握線性相關性的幾個相關定理，另外還要注意推證過程中邏輯的正確性，還要善于使用反證法。

2、向量組的極大無關組、等價向量組、向量組及矩陣秩的概念，以及它們之間的相互關系。要求會用矩陣的初等變換求向量組的極大線性無關組以及向量組或者矩陣的秩。

第四章線性方程組

本章的重點是利用向量這個工具解決線性方程組解的判定及解的結構問題。題目基本沒有難度，但是考生在復習的時候要注意將向量與線性方程組兩章的知識內容聯系起來，學會融會貫通。

第五章特征值與特征向量

本章的基本要求有三點：

1、要會求特征值、特征向量

對于具體給定的數值型矩陣，一般方法是通過特征方程∣λE-A∣=0求出特征值，然后通過求解齊次線性方程組(λE-A)ξ=0的非零解得出對應特征值的特征向量；而對于抽象的矩陣來說，在求特征值時主要考慮利用定義Aξ=λξ，另外還要注意特征值與特征向量的性質及其應用。

2、矩陣的相似對角化問題

要求掌握一般矩陣相似對角化的條件，但是重點是實對稱矩陣的相似對角化，即實對稱矩陣的正交相似于對角陣。這塊的知識出題比較靈活，可直接出題，也可以根據矩陣A的特征值、特征向量來確定矩陣A中的參數或者確定矩陣A；另外由于實對稱矩陣不同特征值的特征向量是相互正交的，這樣還可以由已知特征值λ1的特征向量確定出λ2(λ2≠λ1)對應的特征向量，從而確定出矩陣A。

3、相似對角化之后的應用，主要是利用矩陣的相似對角化計算行列式或者求矩陣的方冪。

第六章二次型

二次型這一章的重點實質還是實對稱矩陣的正交相似對角化問題。這一章節要求考生掌握二次型的矩陣表示，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個：

1、化二次型為標準形

主要是利用正交變換法化二次型為標準型，這是考研數學線性代數的重點大題題型，考生一定要掌握其做題的基本步驟。化二次型為標準型的實質也是實對稱矩陣的正交相似對角化問題。

2、二次型的正定性問題

這一知識點主要考查小題。對具體的數值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象矩陣的正定性判斷可以通過利用標準形，規范形，特征值等得到證明，這時應熟悉二次型正定有關的充分條件和必要條件。