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牡丹江師范學院2019年碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱

科目代碼、名稱:620數學分析

專業類別：■學術型 □ 專業學位

適用專業: 070104應用數學 0701Z1數學教育

一、基本知識點

數學分析是我校數學學科碩士研究生入學初試考試科目。通過考試測試考生對數學分析各項內容理論知識的掌握程度和應用相關知識解決問題的能力， 以保證所錄取的考生具有較好數學基礎素養。

第一章 實數集與函數

1.熟練運用實數絕對值的有關性質及幾個常見不等式;2. 深刻理解確界的定義與確界原理，并能運用有關命題進行運算與證明。

第二章 數列極限

1.熟練掌握數列極限的概念，掌握發散、單調、有界和無窮小數列等有關概念;2.掌握極限的性質及四則運算法則，運用迫斂性原理、單調有界定理求數列的極限; 3.能夠運用柯西收斂準則判定某些數列的斂散性。

第三章 函數極限

1.深刻理解各類函數極限的定義;2.熟練掌握函數極限的性質，并能用來證明或計算給定的函數極限;3.掌握函數極限的歸結原則、柯西收斂準則及單調有界定理，并學會運用上述定理;4.熟練掌握兩個重要極限并運用來計算有關函數極限;5.掌握各種類型的無窮小量與無窮大量的定義、性質及階的比較。

第四章 函數的連續性

1.熟練掌握函數連續的概念、間斷點的類型;熟練掌握連續函數的局部性質、連續函數的有理運算性質，熟知復合函數的連續性及反函數的連續性;2.熟練掌握閉區間上連續函數的重要性質(最值定理，有界性，介值性)，能利用這些性質證明;理解函數的一致連續性，能利用這一性質證明。

第五章 導數與微分

1.熟練掌握導數(包括單側導數與導函數)的概念及幾何意義，理解函數可導與連續的關系;2.能熟練地掌握導數的四則運算法則，復合函數的求導法則，會求反函數的導數及參數方程求導法求函數的導數;3.熟練掌握函數的高階導數;4.理解微分的定義，微分的幾何意義，微分與導數的關系，微分法則，一階微分形式的不變性。

第六章 微分中值定理及其應用

1.熟練掌握微分中值定理(費馬引理，羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理)，會用中值定理證明一些恒等式、不等式以及中值命題;2.熟練地應用洛必達法則求不定型的極限;3.深刻理解泰勒定理，掌握泰勒公式，掌握并熟記一些常用初等函數的泰勒展開式，并能夠加以運用;4.理解函數單調的充要條件及函數嚴格單調的充要條件，能應用函數的單調性證明不等式;5.深刻理解極值概念，極值判別法，最大值與最小值概念，能熟練地求函數的極值和最大(小)值;6.理解函數的凹凸性，拐點，，會用有關的知識討論函數的凹凸性及拐點，能應用函數的凹凸性證明不等式。

第七章 實數的完備性

掌握確界定理、單調有界原理、區間套定理、致密性定理、聚點定理、柯西收斂準則、有限覆蓋定理。

第八章 不定積分

1.理解并掌握原函數與不定積分的概念;2.熟練掌握換元積分法、分部積分法、掌握有理函數積分法及三角函數有理式的積分。

第九章 定積分

1.理解定積分概念;2.了解上和與下和及其性質，掌握可積的必要條件及充分條件，并能應用它判斷或證明函數的可積性(包括可積函數類);3.熟練應用定積分的性質;4.理解并掌握微積分學基本定理，熟練應用牛頓—萊布尼茲公式;5.理解變限的積分的性質并能熟練的處理相關問題;6.熟練應用換元積分法和分部積分法計算定積分。

第十章 定積分的應用

理解并掌握平面圖形的面積、已知截面面積函數的立體體積、旋轉體的側面積及曲線弧長的計算方法.

第十一章 反常積分

理解非正常積分的概念，掌握無窮限與無界函數的非正常積分斂散性的判別法及計算方法。

第十二章 數項級數

1.掌握無窮級數的收斂、發散、絕對收斂及條件收斂等概念;2.掌握收斂級數的性質(包括絕對收斂與條件收斂的性質);3.熟練掌握正項級數的斂散性的判別法;4.牢記并熟練掌握等比級數、調和級數、

級數的斂散性，并能靈活應用;5.掌握交錯級數的萊布尼茲判別法，理解一般項級數的狄利克雷判別法及阿貝爾判別法。

 

第十三章 函數列與函數項級數

1.理解收斂域、極限函數、和函數和一致收斂等概念;2.會用一致收斂的定義、柯西收斂準則和最值法判定一致收斂，熟練掌握優級數判別法，理解并掌握狄利克雷判別法、阿貝爾判別法;3.理解并掌握一致收斂的函數列的極限函數的連續性、可積性、可微性和一致收斂的函數項級數的和函數的連續性、可積性(逐項積分)與可微性(逐項微分)，并能應用它們解決一些相關問題。

第十四章 冪級數

1.理解冪級數的有關概念，掌握收斂性的有關問題;2.掌握冪級數的內閉一致收斂性，和函數的連續性、可積性與可微性;3.熟練掌握冪級數的收斂半徑與收斂域的求法;4.理解并掌握函數的冪級數展開式，并能用冪級數做某些近似計算。

第十五章 傅里葉級數

1.掌握三角函數系的正交性，理解以2

位周期的函數的傅里葉級數的有關概念、定義及收斂定理;2.明確以2 為周期的函數的傅里葉級數是以2 位周期的函數的傅里葉級數的推廣，并理解偶函數與奇函數的傅里葉級數;3.能將一些函數展成傅里葉級數。

 

第十六章 多元函數的極限與連續

1.掌握平面點集的有關概念，二元函數的極限、累次極限以及連續性等概念;弄清重極限與累次極限的關系;會證明二元函數極限的不存在;2.掌握多元連續函數的性質。

第十七章 多元函數微分學

1.理解多元函數偏導數、全微分、方向導數、高階偏導數等概念，特別應掌握全微分、偏導數、連續及偏導存在、偏導連續等之間的關系;2. 熟練掌握求函數的偏導數、全微分及方向導數的方法;3. 會求空間曲線的切線方程、法平面方程，空間曲面的切平面方程、法線方程;4.掌握多元函數的泰勒公式;5.理解極值和最值的概念，掌握極值的必要條件及充分條件，會求多元函數的極值和某些函數的最大(小)值，并能解決一些簡單的應用問題。

第十八章 隱函數定理及其應用

1.理解隱函數的有關概念及隱函數存在性可微性的條件，進而會求隱函數的導數和偏導;2.了解隱函數組的有關概念及隱函數組存在可微性的條件，了解反函數及反函數組存在的條件;3.掌握隱函數組的微分法和隱函數幾何方面的應用;4.理解條件極值的概念及拉格朗日乘數法，會求多元函數的條件極值，并能把實際中的某些極值問題抽象為數學上的條件極值問題。

第十九章 含參量積分

1.理解和掌握含參量正常積分、含參量反常積分的基本概念;2.掌握兩種含參量反常積分的基本性質;3.深刻理解含參量反常積分的一致收斂的概念，掌握其判別的方法;4.掌握含參量積分的分析性質，并能應用其計算積分。

第二十章 曲線積分

1.理解并掌握第一型曲線積分、第二型曲線積分的基本概念和性質，并掌握其計算方法;2.了解并掌握兩類曲線積分之間的聯系。

第二十一章 重積分

1.理解二重積分與三重積分的有關概念;2.理解二重積分與三重積分的性質; 3.熟練掌握直角坐標系及極坐標系下二重積分的計算方法，能將三重積分化為累次積分，并利用柱面坐標、球面坐標計算三重積分;4.掌握格林公式;5.會求一些圖形的面積、體積以及一些物體的質量。

第二十二章 曲面積分

1.掌握第一型曲面積分、第二型曲面積分的基本概念、性質和計算方法，同時明確兩者之間的聯系;2.熟練掌握高斯公式和斯托克斯公式。