2018考研數學三大科目易錯點分析

考研數學來源：中公教育 2017-12-07　

高等數學

1.函數在一點處極限存在，連續，可導，可微之間關系。對于一元函數函數連續是函數極限存在的充分條件。若函數在某點連續，則該函數在該點必有極限。若函數在某點不連續，則該函數在該點不一定無極限。若函數在某點可導，則函數在該點一定連續。但是如果函數不可導，不能推出函數在該點一定不連續，可導與可微等價。而對于二元函數，只能又可微推連續和可導(偏導都存在)，其余都不成立。

2.基本初等函數與初等函數的連續性：基本初等函數在其定義域內是連續的，而初等函數在其定義區間上是連續的。

3.極值點，拐點。駐點與極值點的關系：在一元函數中，駐點可能是極值點，也可能不是極值點，而函數的極值點必是函數的駐點或導數不存在的點。注意極值點和拐點的定義一充、二充、和必要條件。

4.夾逼定理和用定積分定義求極限。這兩種方法都可以用來求和式極限，注意方法的選擇。還有夾逼定理的應用，特別是無窮小量與有界量之積仍是無窮小量。

5.可導是對定義域內的點而言的，處處可導則存在導函數，只要一個函數在定義域內某一點不可導，那么就不存在導函數，即使該函數在其它各處均可導。

6.泰勒中值定理的應用，可用于計算極限以及證明。

7.比較積分的大小。定積分比較定理的應用(常用畫圖法)，多重積分的比較，特別注意第二類曲線積分，曲面積分不可直接比較大小。

8.抽象型的多元函數求導，反函數求導(高階)，參數方程的二階導，以及與變限積分函數結合的求導

9.廣義積分和級數的斂散性的判斷。

10.介值定理和零點定理的應用。關鍵在于觀察和變換所要證明等式的形式，構造輔助函數。

11.保號性。極限的性質中最重要的就是保號性，注意保號性的兩種形式以及成立的條件。

12.第二類曲線積分和第二類曲面積分。在求解的過程中一般會使用格林公式和高斯公式，大部分同學都會把精力關注在是否閉合，偏導是否連續上，而忘記了第三個條件——方向，要引起注意。

線性代數

1、行列式的計算。行列式直接考察的概率不高，但行列式是線代的工具，判定系數矩陣為方陣的線性方程組解的情況及特征值的計算都會用到行列式的計算，故要引起重視。

2、矩陣的變換。矩陣是線代的研究對象，線性方程組、特征值與特征向量、相似對角化，二次型，其實都是在研究矩陣。一定要注意在化階梯型時只能對矩陣做行變換，不可做列變換變換。

3、向量和秩。向量和秩比較抽象，也是線代學習的重點和難點，研究線性方程組解的情況其實就是在研究系數矩陣的秩，也是在研究把系數矩陣按列分塊得到的向量組的秩。

4、線性方程組的解。線性方程組是每年的必看知識點，要熟練掌握線性方程組解的結構問題，核心是理解基礎解系，要能夠掌握具體方程組的數列方法，更要能熟練解決抽象型方程組，一般會轉化為系數矩陣的秩或者基礎解，然后解決問題。

5、特征值與特征向量。特征值與特征向量起到承前啟后的作用，一特征值對應的特征向量其實就是其對應矩陣作為系數矩陣的齊次線性方程組的基礎解系，其重要應用就是相似對角化及正交相似對角化，是后面二次型的基礎。

6、相似對角化，包括相似對角化及正交相似對角化。要會判斷是否可以相似對角化，及正交相似對角化時，怎么施密特正交化和單位化。

7、二次型。二次型是線代的一個綜合型章節，會用到前面的很多知識。要熟練掌握用正交變換化二次型為標準形，二次型正定的判定，及慣性指數。

8、矩陣等價及向量組等價的充要條件，矩陣等價，相似，合同的條件。

概率論與數理統計

1、非等可能與等可能。若一次隨機實驗中可能出現的結果有N個，且所有結果出現的可能性都相等，則每一個基本事件的概率都是1/N;若其中某個事件A包含的結果有M個，則事件A的概率為M/N。

2、互斥與對立對立一定互斥，但互斥不一定對立。若A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，若A，B對立，則滿足(1)A∩B=空集;(2)P(A+B)=1。

3、互斥與獨立。若A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，若A，B獨立，則P(AB)=P(A)P(B);概率為0或者1的事件與任何事件都獨立

4、排列與組合。排列與順序有關，組合與順序無關，同類相乘有序，不同類相乘無序。

5、不可能事件與概率為零的隨機事件。不可能事件的概率一定為零,但概率為零的隨機事件不一定是不可能事件，如連續型隨機變量在任何一點的概率都為0。

6、必然事件與概率為1的事件。必然事件的概率一定為1，但概率為1的隨機事件不一定是必然事件。對于一般情形，由P(A)=P(B)同樣不能推得隨機事件A等于隨機事件B。

7、條件概率。P(A|B)表示事件B發生條件下事件A發生的概率。若“B是A的子集”，則P(A|B)=1，但P(B|A)=P(B)是不對的，只有當P(A)=1時才成立。在求二維連續型隨機變量的條件概率密度函數時，一定是在邊緣概率密度函數大于零時，才可使用“條件=聯合/邊緣”;反過來用此公式求聯合概率密度函數時，也要保證邊緣概率密度函數大于零。

8、隨機變量概率密度函數。對于一維連續型隨機變量，用分布函數法，先討論概率為0和1的區間，然后反解，再討論，最后求導。對于二維隨機變量，若是連續型和離散型，用全概率公式，若是連續型和連續型同樣用分布函數法，若隨機變量是Z=X+Y型，用卷積公式。