2017考研高數：極限的一般題型總結

考研數學來源：中公考研 2016-01-13　

考研高數求極限是考研數學的重要考點，下面將各種求極限的一般題型總結如下，希望能幫到你們。

1、求分段函數的極限，當函數含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了!當X趨近無窮時候存在e的x次方的時候，就要分情況討論應為E的x次方的函數正負無窮的結果是不一樣的!

2、極限中含有變上下限的積分如何解決嘞?說白了，就是說函數中現在含有積分符號，這么個符號在極限中太麻煩了你要想辦法把它搞掉!

解決辦法：

1、求導，邊上下限積分求導，當然就能得到結果了，這不是很容易么?但是!有2個問題要注意!問題1：積分函數能否求導?題目沒說積分可以導的話，直接求導的話是錯誤的!!!!問題2：被積分函數中既含有t又含有x的情況下如何解決?

解決1的方法：就是方法2微分中值定理!微分中值定理是函數與積分的聯系!更重要的是他能去掉積分符號!

解決2的方法：當x與t的函數是相互乘的關系的話，把x看做常數提出來，再求導數!!當x與t是除的關系或者是加減的關系,就要換元了!(換元的時候積分上下限也要變化!)

3、求的是數列極限的問題時候:夾逼或者分項求和定積分都不可以的時候,就考慮x趨近的時候函數值,數列極限也滿足這個極限的,當所求的極限是遞推數列的時候:首先:判斷數列極限存在極限的方法是否用的單調有界的定理。判斷單調性不能用導數定義!!數列是離散的,只能用前后項的比較(前后項相除相減)，數列極限是否有界可以使用歸納法最后對xn與xn+1兩邊同時求極限,就能出結果了!

4、涉及到極限已經出來了讓你求未知數和位置函數的問題。解決辦法：主要還是運用等價無窮小或者是同階無窮小。因為例如:當x趨近0時候f(x)比x=3的函數,分子必須是無窮小，否則極限為無窮,還有洛必達法則的應用,主要是因為當未知數有幾個時候,使用洛必達法則,可以消掉某些未知數，求其他的未知數。

5、極限數列涉及到的證明題，只知道是要構造新的函數，但是不太會!!!

最后總結一下間斷點的題型：

首先，遇見間斷點的問題、連續性的問題、復合函數的問題，在某個點是否可導的問題。主要解決辦法一個是畫圖，你能畫出反例來當然不可以了，你實在畫不出反例，就有可能是對的，尤其是那些考概念的題目，難度不小，對我而言證明很難的!我就畫圖!!我要能畫出來當然是對的，在這里就要很好的理解一階導的性質2階導的性質，函數圖形的凹凸性，函數單調性函數的奇偶性在圖形中的反應!(在這里尤其要注意分段函數!(例如分段函數導數存在還相等但是卻不連續這個性質就比較特殊!!應為一般的函數都是連續的);

方法2就是舉出反例!(在這里也是尤其要注意分段函數!!)例如一個函數是個離散函數，還有個也是離散函數他們的復合函數是否一定是離散的嘞?答案是NO，舉個反例就可以了;

方法3上面的都不行那就只好用定義了，主要是寫出公式，連續性的公式，求在某一點的導數的公式

最后了，總結一下函數在某一點是否可導的問題：

1、首先函數連續不一定可導，分段函數x絕對值函數在(0，0)不可導，我的理解就是：不可導=在這點上圖形不光滑。可導一定連續，因為他有個前提，在點的鄰域內有定義，假如沒有這個前提，分段函數左右的導數也能相等;

主要考點1：函數在某一點可導，他的絕對值函數在這點是否可導?解決辦法：記住函數絕對值的導數等于f(x)除以(絕對值(f(x)))再乘以F(x)的導數。所以判斷絕對值函數不可導點，首先判斷函數等于0的點，找出這些點之后，這個導數并不是百分百不存在，原因很簡單分母是無窮小，假如分子式無窮小的話，絕對值函數的導數依然存在啊，所以還要找出f(a)導數的值，不為0的時候，絕對值函數在這點的導數是無窮，所以絕對值函數在這些點上是不可導的啊。

考點2：處處可導的函數與在，某一些點不可導但是連續的函數相互乘的函數，這個函數的不可導點的判斷，直接使用導數的定義就能證明，我的理解是f(x)連續的話但是不可導，左右導數存在但是不等，左右導數實際上就是X趨近a的2個極限，f(x)乘以G(x)的函數在x趨近a的時候，f(x)在這點上的這2個極限乘以g(a)，當g(a)等于0的時候，左右極限乘以0當然相等了，乘積的導數=f(a)導數乘以G(a)+G(a)導數乘以F(a)，應為f(a)導數乘以G(a)=0，前面推出來了，所以乘積函數在這點上就可導了。導數為G(a)導數乘以F(a)。